Задачки про циклоиду

[Почта сайта]

С "Математических этюдов". Скорее не задачки, а просто занимательные факты.



Первая задача с подвохом: нужно знать, где там циклоида.

[Lazy Crazy]

Я пришёл на работу, но я ещё не проснулся...
Все приедут одновременно, но с разной скоростью...

[krot822]

Навскидку тоже приходит про скорость. Естественно, что прямая - это кратчайший путь, но полученное время находится в обратной зависимости от скорости в любой момент времени и от ускорения. <зануда>Здесь, я так понимаю, не учитывается трение? Нет точных траекторий движения?</зануда>. Вот ведь блин, элементарная задача по физике, даже не первого курса, а школы, а не могу без гугла вспомнить, как найти время соскальзывающего предмета в зависимости от угла наклона поверхности и высоты 

Спасибо топик стартеру, вечером будет чем заняться   

[Dendr]

С прямым спуском все просто, так что жалко тратить время на это, вы и не тратьте - я уже проделал это. Квадрат времени равен t^2=(2*h)/(g*sin^2a)
(g - ускорение свободного падения, h - перепад между стартом и финишем, a - угол наклона к горизонтали; в формуле - квадрат его синуса. Когда спуск отвесный, синус равен единице, и формула превращается в формулу для времени падения в поле силы тяжести)

Так что если бы на втором рисунке были прямые линии, то ответ был бы очевиден: кто ближе к финишу, тот раньше и приедет. Но здесь явно ответ будет другим.

А вот с дугой и "дугой с ямой" надо посоображать, тут для точного ответа без интеграла не обойтись, кажется. Для простоты - если мы хотим только оценивать, видимо, достаточно будет взять эллипс.

[thesurfer]

Если представить себе, что трасса является графиком некоторой функции, то надо найти такую функцию, которая минимизирует время скатывания. Это задача вариационного исчисления. Решается с помощью дифференциальных уравнений, не помню как, но в итоге должна получиться половина циклоиды (кривой, описываемой точкой на краю колеса при качении). Это либо ближняя, либо средняя трасса. Но циклоида в нижней точке должна идти горизонтально, а у ближней трассы есть небольшой подъемчик. Следовательно, ответ - средняя трасса.

[Lamborg]

Все придут одновременно.

[BarbaraKr]

Да, отлично. Засчитано.

На ЦЭ вы бы взяли суперприз

ЗЫ надо только ещё адрес next-hopа маршрутом с трэком написать, а то в задаче сказано "любой трафик", значит и скажем пинг на соседа.

ЗЗЫ У задачки есть ещё минимум 1 решение от суперпризёра