Три шкатулки

[Кощей]

Да ничего подобного. Вы мою задачку про парадокс Монти Холла читали? А ведь это та же самая задача, сформулированная еще Мартином Гарднером, только другой расклад получается. Все упирается к зависимости событий в теорвере, и Гарднер очень хорошо свел к задаче о трех узниках, ибо если посудить с точки зрения узника №3, то ему глубоко фиолетово, кого расстреляют, а узник №1 всего лишь получает дополнительное знание, никак не связанное с тем, останется он в живых или нет.
То есть, вы хотите сказать, что если бы узник №3 подкупил охранника, то его шансы выжить увеличились. Сами понимаете, что это чушь. И всего лишь игра.

Для начала, в газете "Дуэль" разбиралась задача о "козлах и автомобиле", я предложил задачу о "трех шкатулках". (Замечу, что про парадокс Монти Холла я до этого не слышал, задачу про шкатулки сформулировал, копаясь в старых конспектах.) Именно об этих двух задачах я и рассуждал, а не о задаче об узниках.

Итак, сравним рассуждения. В задаче о шкатулках происходит следующее: мы выбираем одну из шкатулок (вероятность того, что мы выбрали шкатулку с предметом равна 1/3, а того, что шкатулка пуста - 2/3), после чего ведущий открывает нам одну пустую шкатулку из двух оставшихся. При этом он не сообщает нам никакой дополнительной информации о том, что находится в двух других шкатулках. Представим, что мы решили изменить изначальный выбор шкатулки. Тогда мы проиграем только в том случае, если изначально выбрали шкатулку с предметом, а вероятность этого, как мы помним, равна 1/3. Если же изначально мы выбрали пустую шкатулку (а вероятность этого - 2/3), то мы выигрываем с той же вероятностью 2/3, так как вторая пустая шкатулка уже открыта. Мы просто "меняем знак" вероятности.

Попытаемся применить это рассуждение к задаче о трех узниках. Дело в том, что тут ситуация совершенно иная, не другой человек принимает решение, куда перевести узника. Имеются три узника в трех камерах (три шкатулки). Одного из них должны помиловать (полная шкатулка), двух других - расстрелять (пустые шкатулки). В ситуации игрока волею судьбы оказывается узник из камеры №1. Представим его рассуждения: охранник сообщил, что расстреляют узника из камеры №2 (открыли одну из пустых шкатулок) и мне предлагается выбор, остаться ли в своей камере, или поменяться местами с №3. Вероятность, что, заключенного из моей камеры помилуют - 1/3, вероятность того, что расстреляют - 2/3. Если я решу перейти в камеру №3, то, если я изначально сидел в камере, заключенного из которой должны помиловать - меня расстреляют. Вероятность этого - 1/3. Если же я сидел в камере, заключенного из которой должны расстрелять, то переход в другую камеру №3 спасет мне жизнь с вероятностью 2/3.
 

[Почта сайта]

Кощей, че-то я не понял ваших рассуждений.

Парадокс Монти Холла как раз и заключается в том, что вероятность будет 2/3. И вы вторую задачу к этому и свели. Перечитайте ваш пост заново. В чем парадокс? Да в том, что узник №3 тоже мог спросить у охранника, кого бы расстреляли. И что тогда получается? У №1 и №3 одинаковая степень вероятности! Подумайте.
Мы ведь только обозначили узника номером 1, нам ведь глубоко фиолетово, какой из трех спрашивает. Но нас интересуют шансы выжить из №1 и №3, ибо мы заведомо знаем, что №2 будет расстрелян. Как ни крути, задача возвращается к первоначальным условиям.
Возвращаясь к задаче о трех шкатулках (в идеале она была представлена как задача об автомобиле и козлах уже в наше время), так вот этот парадокс Монти Холла (получил название благодаря телепередаче, где ведущий был Монти Холл) - этот парадокс действует на психологию игрока, но никоим образом не связан с теорвером.
В задаче о шкатулках тоже есть неприемлемое условие - событие происходит независимо от мнения игрока, а суть как раз заключается в том, что чисто психологически человек считает себя центром Вселенной, и ему кажется, что от его выбора чего-то зависит.
Вспомним заключенного №3. Он ведь так же мог подкупить охранника и узнать ту же информацию, что и заключенный №1. То есть, задача теряет смысл. Вероятности по-прежнему остаются одинаковые.
Аналогия с тремя шкатулками очевидна. Но пример Гарднера более показателен, ибо в нем речь идет о человеческих жизнях, такие задачи воспринимаются острее.

[Кощей]

Кощей, че-то я не понял ваших рассуждений.

Парадокс Монти Холла как раз и заключается в том, что вероятность будет 2/3. И вы вторую задачу к этому и свели. Перечитайте ваш пост заново. В чем парадокс? Да в том, что узник №3 тоже мог спросить у охранника, кого бы расстреляли. И что тогда получается? У №1 и №3 одинаковая степень вероятности! Подумайте.
Мы ведь только обозначили узника номером 1, нам ведь глубоко фиолетово, какой из трех спрашивает. Но нас интересуют шансы выжить из №1 и №3, ибо мы заведомо знаем, что №2 будет расстрелян. Как ни крути, задача возвращается к первоначальным условиям.
Возвращаясь к задаче о трех шкатулках (в идеале она была представлена как задача об автомобиле и козлах уже в наше время), так вот этот парадокс Монти Холла (получил название благодаря телепередаче, где ведущий был Монти Холл) - этот парадокс действует на психологию игрока, но никоим образом не связан с теорвером.
В задаче о шкатулках тоже есть неприемлемое условие - событие происходит независимо от мнения игрока, а суть как раз заключается в том, что чисто психологически человек считает себя центром Вселенной, и ему кажется, что от его выбора чего-то зависит.
Вспомним заключенного №3. Он ведь так же мог подкупить охранника и узнать ту же информацию, что и заключенный №1. То есть, задача теряет смысл. Вероятности по-прежнему остаются одинаковые.
Аналогия с тремя шкатулками очевидна. Но пример Гарднера более показателен, ибо в нем речь идет о человеческих жизнях, такие задачи воспринимаются острее.

Позвольте, позвольте! Что значит "узник №3 тоже мог спросить у охранника"? По условиям задачи, именно узник №1 подкупил охранника, и именно ему был предоставлен выбор. В этих условиях и должна решаться задача. Вопрос стоял конкретно: увеличится ли вероятность быть помилованным у узника №1, если он поменяется камерами с узником №3 после того, как охранник сообщит ему, что узника №2 расстреляют? Теория вероятностей (конкретно - теорема Байеса) дает однозначный, математически обоснованный ответ: да, увеличится, хотя и не станет абсолютной. Психология тут совершенно не причем.
Сдается мне, многим кажется, что такое решение подразумевает, что камера №3 более "счастливая", и у узника №3 были изначально более высокие шансы на помилование, что, разумеется, противоречит здравому смыслу и, казалось бы, указывает на ошибку. Но это вовсе не так: это означает лишь то, что сам факт перемены места повышает вероятность спасения для узника №1. Задача вполне решается и для 100 узников, и для какого угодно их числа.

[Почта сайта]

Позвольте, позвольте! Что значит "узник №3 тоже мог спросить у охранника"

В этом-то и заключается парадокс. Я еще раз повторюсь: узника №1 мы только обозначили. Нам никто не запрещает переформулировать задачу, сделав героем узника №3. Если следовать рассуждениям из области относительной вероятности, то и узник №3 получит тот же шанс выжить, что и узник №1, если бы он знал такую же информацию.
То есть, мы заходим в тупик, ибо вне зависимости от номера 1 или 3, мы получаем равные условия,

[Кощей]

В этом-то и заключается парадокс. Я еще раз повторюсь: узника №1 мы только обозначили. Нам никто не запрещает переформулировать задачу, сделав героем узника №3. Если следовать рассуждениям из области относительной вероятности, то и узник №3 получит тот же шанс выжить, что и узник №1, если бы он знал такую же информацию.
То есть, мы заходим в тупик, ибо вне зависимости от номера 1 или 3, мы получаем равные условия,

Скажем так, если обоим узникам будет дана возможность выбирать, задача, разумеется, теряет смысл. Ключевое слово "если бы".
Но объяснение этого парадокса лежит еще глубже. Ведь получается вот что: фактически, и в том, и в другом случае узники совершают одно и то же действие: меняют камеру №1 на №3. Тем не менее, получается так, что тот, кому предоставлена возможность выбирать, оказывается в более выгодном положении, хотя суть действия от этого не меняется. То есть: представим, что информацию получил узник №3. Что он сделает? Согласно формальной логике задачи, перейдет в камеру №1, а узник №1, соответственно, перейдет в камеру №3. Если же информацию получает узник №1, то что он делает? Точно также переходит в камеру №3, а узник №3 - в камеру №1. Но в первом случае в более выгодном положении оказывается узник №3, во втором - №1, хотя они совершают абсолютно равнозначные действия. Это, несомненно, противоречит здравому смыслу, но тем не менее теория вероятностей дает нам именно такой ответ: тот, кто делает выбор, оказывается в более выгодном положении. Но в чем же сущность парадокса, вот вопрос.

[Gefest]

А я согласен с Почтой Сайта.
Поменяется узник 1 с узником 3 или не поменяется - вероятность 50% в любом случае. Знание того, что казнят узника 2 - ни на что не влияет. Обмен тоже ни на что не влияет.
Давайте расмотрим вариант этой задачи. У нас в шапке три камня - два черных и один белый. Вытаскиваем один камень. Он черный. Это соответствует тому, что мы знаем, что казнят узника 2. Засовываем руку в шапку, нащупываем еще один камень и вытаскиваем. Вероятность того, что он белый - 50%. Результат вытаскивания первого камня на вероятность вытаскивания второго НЕ ВЛИЯЕТ. Если бы мы, нащупав один камень, выпустили его из пальцев и взяли бы другой (соответствие перемене новеров узников) - то вероятность вытаскивания белого опять 50%.